未签订劳动合同并辞退入职未满一个月的员工是违法的。根据《中华人民共和国劳动合同法》(以下简称《劳动合同法》)，用人单位必须与劳动者签订书面劳动合同，并在员工入职之日起一个月内签订劳动合同。如果用人单位未在规定时间内与员工签订劳动合同，应当支付员工双倍工资。此外，用人单位不得无故辞退员工，辞退员工必须符合法律规定的原因和程序。

　　以下是关于未签订劳动合同且未满一个月辞退员工违法性的详细解释：

　　劳动合同的签订：《劳动合同法》规定，用人单位应当在员工入职之日起一个月内与员工签订书面劳动合同。如果用人单位未在规定时间内与员工签订劳动合同，则违反了法律规定。

　　双倍工资支付：根据《劳动合同法》的规定，如果用人单位未与员工签订书面劳动合同，应当向员工支付双倍工资。这意味着，如果员工在未签订劳动合同的情况下工作了一个月，用人单位不仅要支付这一个月的工资，还要额外支付一个月工资的补偿。

　　辞退员工的合法性：《劳动合同法》规定了用人单位可以辞退员工的情形，如员工严重违反用人单位的规章制度、员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作等。如果用人单位未满一个月就辞退员工，且不符合以上法定原因，则属于违法辞退。

　　违法辞退的法律后果：违法辞退员工可能会导致用人单位承担经济赔偿责任。根据《劳动合同法》，违法辞退员工的，用人单位应当向员工支付经济赔偿金，赔偿金相当于员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

　　下面是一个案例说明：

　　假设小明于2023年1月1日入职某公司工作，但该公司未与小明签订书面劳动合同。在1月25日，该公司以小明工作表现不佳为由辞退了小明。小明要求公司支付未签订劳动合同的双倍工资以及违法辞退的经济赔偿金。

　　在这个案例中，该公司未在员工入职后一个月内与小明签订书面劳动合同，违反了《劳动合同法》的规定。因此，该公司应当向小明支付自入职之日起至辞退之日止的双倍工资。此外，公司以工作表现不佳为由辞退小明，但未满一个月且不符合法定原因，属于违法辞退。因此，公司还应当向小明支付违法辞退的经济赔偿金。

　　总的来说，未签订劳动合同且未满一个月辞退员工是违法的。员工有权要求用人单位支付未签订劳动合同的双倍工资以及违法辞退的经济赔偿金。因此，用人单位应当遵守法律规定，及时与员工签订劳动合同，并在符合法定原因和程序的情况下辞退员工。